Yeni teknoloji;

• Matematiğin içeriğini, çalışma alanını değiştirecek mi?

• Matematiğin geleneksel öğretim şeklini değiştirecek mi?

Bu sorulardan birincisi için evet demek mümkün, ancak ikincisi için bu oldukça zordur. Teknolojinin sağladığı yeni bakışlar, deneme, sınama ve araştırma kolaylıkları matematiğin içeriğini, uğraş alanlarını genişletmektedir. Bunun en somut örneklerini Kaos Teoride, Fraktal Geometride, Fuzy Lojik ve onun kontrol sistemlerindeki matematiksel modellemelerinde görebilmekteyiz. Matematiğin içeriğindeki bu somut değişimi matematik öğretiminde görebilmek oldukça zordur.

Yetmişli yılların başında matematik eğitimcileri bilgisayar teknolojisinin matematik eğitiminde yeni ufuklar açacağını büyük heyecanlarla ilân etmişlerdi.“Mindstorms-Children,Computer, andPowerful Ideas” ve “New Horizons in Educational Computing” adlı kitaplar bu heyecanın ürünleridir. Papert’a göre bilgisayarın matematiksel kavramları ve ilişkileri araştırma keşfetme ve bulma amacıyla kullanılması geleneksel matematik öğretme ve öğrenme ortamlarını değiştirecek, hatta yarınların sınıfları bugünkü gibi olmayacaktı, öğretmenler geleneksel yollardan matematik öğretmeyecekti ve öğrenciler böyle öğrenmeyecekti (1). Bu vaadlerin ardından 30 yıla yakın bir zaman geçti. Papert’ı haklı çıkaracak değişimlerin örnekleri matematik eğitiminde oldukça azdır. Oysa son 30 yıldaki teknolojinin gelişmesine baktığımızda, teknoloji dev adımlarla koşmakta genelde eğitim özelde matematik eğitimi ise küçük adımlarla ona ulaşmaya, ondan yararlanmaya çalışmaktadır. Sınıflarımızda, öğrenme pratiklerimizde, öğrencilerin öğrenme deneyimlerinde küçük değişimlerin dışında yeni ufuklar diyebileceğimiz değişimler gerçekleştirilemedi.

Teknoloji dev adımlarla koşarken çoğu yazılım mühendisleri, eğitimciler, öğretmenler bu teknolojiyi geleneksel öğretim yöntemlerine monte etmeye çalışmıştır. Bu alanda da bir hayli başarılı olmuşlar ve yol almışlardır. Programlar yazıldı, yazılımlar geliştirildi, ses, renk, görüntü, hareket hepsi kullanıldı. Bu uğraşların sonunda eski kaynakların ve kitapların yerini daha cicili-bıcılı yeni kitaplar aldı.Bu da öğrenme ve öğretme deneyimimizde dramatik bir değişime yol açmadı. eknolojinin matematik eğitiminde bu şekilde kullanılması akla tarihsel bir örneği getirmektedir. Bilindiği gibi, 16. yüzyılın muhteşem teknolojisi matbaa yaklaşık 100 yıl İncil basımında ve eski yazmaların basımında kullanıldı. Matbaanın bu amaçla kullanılması gerçek anlamda ne İncil’in yeniden yorumlanmasında, ne de fen bilimlerinin gelişmesinde bir dönüm noktası olabildi. Yeni bir teknoloji olarak bilişim teknolojisi ya da daha özel olarak bilgisayar matbaanın durumuna mı düşecek?Yoksa 2000 yıldır süre gelen matematik öğretimine gerçekten bir değişim getirebilecek mi? Papert’ın bu teknoloji ile 30 yıla yakın olan serüveni onu değişim konusunda karamsar yapmamıştır. Benzer şekilde bilgisayarın eğitimde kullanılması ile ilgili 10 yıllık serüvenimin ardından Papert ile aynı duygulara ve umutlara sahip olduğumu düşünüyorum. Matematik çalışmak ve matematik öğrenmek için geliştirilen inanılmaz güzellikte ve içerikte yazılımları tanıdıkça onları kullanarak yeni matematiksel bilgileri kurdukça, bu etkinlikleri sınıf ortamına taşıdıkça, işaret edilen yeni ufukların ve değişimlerin yavaş da olsa gerçekleşebileceğine inanıyorum. Yeter ki bilişim teknolojisi geleneksel öğretim yöntemlerine monte edilmeye çalışılmasın.

Yapısalcı bir felsefeye dayanan bilgi kuramından hareketle bilişim teknolojisi kullanılırsa çok daha verimli ve işlevsel öğrenme ortamları oluşturulabilir. Böyle bir ortamda öğrenci araştırma türünden ya da karmaşık problemleri çözebilir, çözüm yolları geliştirebilir, analiz yapabilir, varsayımda bulunarak genelleme yapabilir. Öğrenci kendi kullanımına sunulan yazılımları kullanarak kendi matematiksel çalışmalarını tasarlayabildiği gibi öğretmenin hazırladığı senaryoların içinde dolaşarak öğrenilmesi istenilen bilgi, kavram veya olguyu keşfedebilir. Öğrencinin bütün bu etkinlikleri yapması kendi öğrenmesini kontrol altına alması anlamına gelir. Logo, Coypu, Cabri, Derive, Mathematica gibi yazılımlar ve TI-92 grafik hesap makineleri öğrencilere böyle ortamlar sunabilmektedir. Yazılımlar hatasız çalışan ve kullanılması kolay paket programlardır. Yazılımlar, kullanıcılara kendileri için uygun temel formülleri, yapılan şekilleri tanımlayarak hesaplamanın, oluşturmanın tam olarak nasıl yapıldığını görme fırsatı sağlarlar. Çoğu yazılımlarda herhangi bir matematiksel yapı veya model için program yazmaya, algoritma geliştirmeye ihtiyaç yoktu. Örneğin, Excel kâğıt, kalem ve hesap makinesinin komputerize edildiği (bilgisayarlaştırıldığı) bir yazılımdır.İstenilen formül elektronik tabloya kolayca girilerek değişim tablosu ve grafiği elde edilir.

Değişim İçin Nasıl Bir Yazılım?

Matematik öğretimi için yukarıda yapılan genel değerlendirmeden sonra daha ayrıntılı olarak geometri öğretimi için nasıl bir değişim söz konusu olabilir sorusunu irdeyelim. Önce, bu değişimin gerçekleşmesi için hangi özelliklere sahip yazılımlar kullanılabilir sorusuna yanıt arayalım. Bunun için geometri öğretimin genel amaçlarını bir kez daha hatırlayalım. Geometrinin genel amaçlarını iki ana başlıkta toplayabiliriz:

1. Öğrenci kendi fiziksel dünyasını, çevresini ve evreni açıklamada ve anlamlaştırmada geometriyi kullanabilmeli,

2. Öğrenci problem çözme becerileri geliştirmeli.

Bu genel amaçları biraz açacak olursak, birinci amaç için sırasıyla öğrenci;

(a) Geometrik şekilleri tanıyabilmeli, açıklayabilmeli, karşılaştırabilmeli ve sınıflandırabilmeli;

(b) Varlıklar arasında ilişkiler kurabilmeli, mekân ve uzay kavramı geliştirebilmeli;

(c) Geometrik şekiller arasındaki dönüşümleri keşfedebilmeli;

(d) 3 boyutlu nesneleri tanıyabilmeli, açıklayabilmeli, özelliklerine göre sınıflandırabilmeli.

İkinci amaç için de şu özel amaçlar sıralanabilir. Öğrenci;

(a) Geometrik şekillerin özelliklerini karşılıklı ilişkilendirebilmeli;

(b) Geometrik yerleri, durumları aksiyomları, önermeleri ve teoremleri kullanarak açıklayabilmeli ve kanıtlayabilmeli;

(c) Koordinat düzleminde dönüşümleri ve vektörleri problem çözümlerinde kullanabilmeli.

Bu saydığımız amaçları kısaca öğrencinin çevresini tanıyabilmesi ve geometriyi problem çözme sürecinde kullanabilmesi olarak özetleyebiliriz. Mevcut matematik müfredatları öğrencinin çevresini anlamasına ne kadar yardım ediyor?Okullarda öğretilenEuclid geometrisi, bugünkü öğretildiği hâliyle varlıkların şekillerinin zorlanarak soyutlaştırılmasıyla oluşturulmuş şekilleri ve bunların özelliklerini incelemektedir. Oysa evrende Euclid geometrisinin içine alamayacağı kadar nesne, durum ve olay vardır. Oysa evrende Euclid geometrisi tek başına, öğrenciye teorik bilgileri ile fiziksel dünyayı ilişkilendirme ve birleştirme fırsatı sunamamaktadır. Euclid geometrisinin dışındaki geometrilere örneğin fraktal geometriyi yukarıda belirtilen amaçlar doğrultusunda bakılacak olursa fraktal geometrinin öğrenciye fiziksel dünyasını anlamada Euclid geometrisinden daha çok fırsat sağladığı söylenebilir.Fraktal geometri uzayıp giden bir dağ sırasının engebelerini, çeşit çeşit dallanan ağaçların dallanmalarını, bulutların ya da kar tanelerinin kıvrımlarını inceler, aynı zamanda fonksiyonel olan matematiksel yapılarına ait özellikleri ortaya koyar.

Geometrinin ikinci amacını dikkate aldığımızda ise öğrencilere okulda geometrik şekilleri benzerlik ve özdeşlikler kurma yoluyla sınıflandırabilme ve bu özellikleri kullanarak tümden gelimli çıkarımlar yapabilme fırsatlarının sunulması zorunluluğu ortaya çıkmaktadır. Bu bağlamda söz konusu teknoloji ümit vaat etmektedir. Öğrencilerin geometri sezgilerini ve tasarılarını sağlam temellere oturtabilmek hem akademik hayatları için hem de değişik meslekî uygulamalara hazırlık için önemlidir. Bir başka deyişle, okullarda okutulan geometri öğrencilere gerek doğal varlıkların gerekse insan tarafından üretilmiş nesnelerin hangi geometrik özellikleri sayesinde fonksiyonlarını yerine getirebildiklerini öğretmelidir. Bunu sahip olduğumuz teknoloji öğrencilere rahatlıkla sağlayabilir. Örneğin, Cabri Geometry veya TI-92’de geometrik şekiller ve yapılar oluşturulurken öğrenci temel geometrik elemanlar(nokta, doğru, doğru parçası, ışın, açı... gibi) ile başlayabilir. Adım adım karmaşık bir geometrik yapıyı veya şekli oluşturabilir. Bu yapı içerisinde yeni geometrik yerler, sabitler ve değişkenler de tanımlayabilir, bunları karşılıklı olarak ilişkilendirebilir. Böylece oluşturulan yapılar veya şekiller artık kitaplardaki, defterlerdeki gibi sabit değildir. Dinamik bir yapıya sahiptirler, temel geometrik elemanların birbirlerine göre durumları ve ilişkileri değiştikçe yapıda değişmektedir. Yazılımın bu özelliği matematikçinin, öğretmenin, öğrencinin önüne inanılmaz araştırma durumları çıkarmaktadır. Öğrencide bu yolla hayal etme gücü artmaktadır. Hayal etme gücünün artması sezgi yolunun dolayısıyla yaratma ve keşfetme yollarının açılması demektir. Bu yollar açıldığında öğrenci analiz yapabilecek, varsayımda bulunabilecek ve genelleme yapabilecektir. Bu ise doğrudan öğrencinin problem çözme becerilerini geliştirecektir.

Öğrenci problem çözme becerisini kaliteli problemleri çözmekle elde eder. Bu problemler alıştırma türünden değil, araştırma türünden açık uçlu birden çok çözümü olan problemler olmalıdır. Bu problemlerin çözümü sürecinde öğrenci teknolojiyi bir öğrenme aracı olarak kullanarak Polya’nın problem çözme adımlarını izleyebilir. Polya’nın heuristik adımları izlendiğinde konu, kavram ya da bir matematiksel özellikle ilgili yüksek düzeyde bilişsel öğrenmelerin gerçekleştiği araştırmacılar tarafından gösterilmiştir(2). Bu bağlamda Logo ve Cabri ile oluşturduğumuz dinamik geometri ortamları öğrenciye kaliteli ve içerikli problem çözme fırsatları sağlamaktadır. Bununla ilgili Bilgisayar Destekli Matematik Öğretimi dersleri sırasında yaptığım sınıf içi gözlemlerden bazı örnekler vermek istiyorum. Örneğin, bir etkinlikte, öğrencilerden sadece bir köşegeni verilen karenin Logo ortamında çizilmesi istenmiştir. Öğrenciler bu sorun üzerinde çalışırken karenin özelliklerini bulmak ve kullanmak zorunda kaldı. Logo’nun basit komutları 3600 olduğunu, karede köşegenlerin birbirini ortaladığını ve dik kestiğini, aynı zamanda köşegenlerin açı ortayı olduğunu kullandı. Bu çalışmanın sonunda öğrencilerden aynı koşullarda dikdörtgen çizmesi istendiğinde bu etkinlik öğrenciyi kare ile dikdörtgeni özellikleri açısından karşılaştırmaya yöneltmektedir.

Bir başka sınıf içi gözlemi de Cabri ortamında öğrencilerin bir yansıma dönüşümü üzerinde çalışmaları ile ilgilidir. İki öğrenci kendilerinden istenilen yansımayı Cabri ekranında oluştururken önce seçtikleri bir P noktası üzerinde bir bayrak çizdiler. Aşağıdaki şekilde olduğu gibi ayna gibi düşündükleri ve yansımayı gerçekleştirecek doğruyu P den geçen doğruya dik olacak şekilde tanımladılar. Bundan sonrasını Cabri’deki yansıma işlevi seçeneğini kullanarak yaptılar ve T noktasını ve bayrağın dönüşümden sonraki yerini elde ettiler. İstenilen yansımayı elde ettiklerini düşündükleri sırada kendilerine bu dönüşümün doğru olup olmadığı sorulduğunda bunu araştırmak için özgün çözüm yöntemleri geliştirdikleri gözlendi.

Elde ettikleri T noktası P’nin aynaya göre yansıması ise P ile Taynaya eşit uzaklıkta olmalıdır. Bunu test etmek için birçok yol denedikten sonra Cabri’nin bir başka işlevi olan Circle seçeneğini kullanarak iki noktanın aynadan eşit uzaklıkta olup olmadığını bulabileceklerini keşfettiler. Ortaya yeni bir ilişki çıkmıştı. Doğruların kesiştiği yeri merkez kabul eden bir çemberin üzerine P noktası düştüğünde T noktası nerede olmalıydı. Eğer bu iki nokta aynaya eşit uzaklıkta ise ikisi de çemberin üzerinde olmalıydı.

Öğrencilerin bu denemesi iki noktanın eşit uzaklıkta olup olmadıklarını öğrencilerin farklı yollardan farklı matematiksel ilişkiler kullanarak bulabileceklerini ortaya koymuştur. Aynı gruba eğer P noktası aynaya doğru yakınlaştırılırsa veya aynadan uzaklaştırılırsa ne olurdu sorulduğunda öğrenciler, PT nin aynaya dikliğinin bozulmadığını noktaların yine çember üzerinde kaldığını gözlediler.

Bir başka gözlem açık uçlu bir problemle ilgiliydi. Öğrencilerden iki komşunun aralarındaki zikzaklı sınırı düz bir doğru şeklinde düzeltmeleri istendi.

Öğrenciler çalışma yapraklarındaki bu şekli Cabri ekranında çizdiler. Bir süre aralarında tartıştılar. Kâğıt-kalem hesaplamaları yaptılar. Farklı yaklaşımlar denediler. Cabri’nin sağladığı kolaylıkları kullanmaya çalıştılar. Ancak çözüm için yaptıkları plânları Cabri’ye taşıdıklarında bir sonuç alamıyorlardı. Bir ip ucu niteliğinde kendilerine iki paralel doğru çizmeleri ve tabanı değişmemek ve tepe noktaları ikinci doğru üzerinde kalmak koşuluyla üçgenler oluşturmaları istendi.

 kaynak:meb