Belli tip diferansiyel denklemlerin, belli şartlar altιnda bir
çözümlerinin mevcut olmasιnιn ispatι, diferansiyel denklemler teorisinde
varlιk teoremi konusunu teşkil etmekte olup, bu da, ilk olarak 1820 ile
1830 yιllarι arasιnda, Fransιz matematikçi A.L. Cauchy tarafιndan tesis
edilmiş ve daha sonra gelenler tarafιndan geliştirilmiştir.



Newton ve Diferansiyel Denklem

Íngiliz matematikçi Newton (1642-1727), diferansiyel denklemler
üzerindeki çalιşmalarιna 1665 yιlιnda başlamιştιr. 1671 yιlιnda
yayιnladιğι bir makale ile, diferansiyel denklemleri 3 ayrι sιnιfta
göstermiştir. Bunlar:



Birinci Sιnιf Diferansiyel Denklemler: Bu sιnιfa ayιrdιklarι, dy/dx
tipinde olanlardιr. Burada y, xin bir fonksiyonudur veya bunun tersi de
söz konusudur.



Íkinci Sιnιf Diferansiyel Denklemler: Bu sιnιfa ayιrdιklarι, (dy/dx) = f(x,y) tipinde olanlardιr.



Üçüncü Sιnιf Diferansiyel Denklemler: Bu sιnιftaki diferansiyel denklemler ise, kιsmi diferansiyel tipinde olanlardιr.



Leibniz ve Diferansiyel Denklem

Alman filozof ve matematikçi Leibniz (1646-1716), diferansiyel
denklemler üzerine çalιşmalarιna 1673 yιlιnda başlamιştιr. Bu konudaki
çalιşmalarιnι, 1684 ile 1686 yιllarι arasιnda yazdιğι Aklaerudilorum
adιnda bir eseri ile ortaya koymuştur.



Leibnizin bu eseri, yayιnlandιğι yιllarda Almanyada gereken ilgiyi
görmemiştir. Fakat, Ísviçrede, Jaques ve Jean Bernouilli kardeşler
tarafιndan, ilgiyle incelenmiştir. 1690 yιlιnda, Jaques Bernouilli bu
konuda önemli bir eser yayιnlanmιştιr. Yine aynι yιllarda; Leibniz ve
Bernouilli kardeşler tarafιndan, diferansiyel üzerinde önemli
araştιrmalar yapmιşlardιr. Yeni çözüm yollarι geliştirmişlerdir. Leibniz
1691 yιlιnda; f (x,y) = f (x.g (y)) şeklinde olan diferansiyel
denklemin çözümünü yapmιştιr.



Euler ve Diferansiyel Denklem

Alman matematikçi Leonard Euler (1707-1783), 1728 yιlιnda, diferansiyel
denklemler üzerinde geniş çalιşmalar yapmιştιr. Diferansiyel
denklemlerin derecesini düşürme yöntemlerini geliştirmiştir. Seri
çözümleri:



(1-x⁴)-1/2dx + (1-y⁴)1/2dy = 0



şeklinde olan Abelin teoreminin cebirsel çözümünü bulmuştur. Bu çözüm, eliptik fonksiyonlarda önemli rol oynamιştιr.



Eulerin Denklemi

a_i ler sabit olmak üzere, denklemin genel şekli:



a₀x_ny_n + a₁x_n-1y_n-1 + ... + a_n-1 xy + a_n = q(x)



olan bu denklem, yye ve türevlerine göre lineerdir, fakat katsayιlar değişkendir.